IMG_5161

     Les théorèmes de Gödel ont pour but de fonder la logique sur une base axiomatique qui est hors d'atteinte.

Quel que soit le système d'axiomes utilisés pour fonder une théorie, il existe des propositions que l'on sait vraies mais dont la vérité ne peut pas être démontrée dans le cadre du système.

L'axiome dans une théorie est une formule de base que l'on considère vraie sans démonstration.

L'inconsistance est de pouvoir démontrer une chose et son contraire.

L'incomplétude caractérise des vérités mathématiques qu'on ne peut démontrer.

Quelque soit la richesse d'un système d'axiomes celui-ci ne peut pas égaler la capacité du contenu potentiel de la pensée.

La pensée explicite -  résultat de nos réflexions fondées sur un nombre fini d'axiomes - est plus simple que la pensée complexe qui en théorie ne peut en rendre compte.

Pour sortir du dilemme d'une affirmation vraie et fausse à la fois, il faut sortir du système lui-même, se mettre en meta-position, en vision externe, en adoptant un système plus large.

La logique a ses limites ; dans tout système il existe des vérités indémontrables.

Tout ensemble fini d'axiomes suffisamment riches conduit nécessairement à des résultats soit indécidables, soit contradictoires.

Tout système logique humain est incomplet s'il se veut cohérent. La cohérence nécessite l'incomplétude.

La condition d'incomplétude que rencontre le scientifique n'est pas une défaite de la raison mais une chance pour progresser en l'introduisant à la confrontation au mystère, au mystère de connaitre.

La formule d'Einstein, " le plus incompréhensible, c'est que le monde soit compréhensible ", et la mise en évidence de la " fécondité " de l'incomplétude sont comme deux " signes " du mystère du connaître dans la démarche scientifique moderne.

La vérité ne peut pas être exprimée en terme de démontrabilité. Une chose prouvable n'est pas forcément vraie et une chose vraie pas nécessairement prouvable.

Pour trouver des vérités dans un système donné il faut pouvoir s'en extraire et pour celà avoir une raison capable de créer un système dans lequel l'ancienne vérité indémontrable deviendra tout à fait démontrable.

La portée des théorèmes de Gödel a une importance considérable pour toute théorie moderne de la connaissance. Tout d'abord il ne concerne pas que le seul domaine de l'arithmétique, mais aussi toute mathématique qui inclut l'arithmétique. Or la mathématique qui est l'outil de base de la physique théorique contient, de toute évidence, l'arithmétique. Cela signifie que toute recherche complète d'une théorie physique est illusoire. Si cette affirmation est vraie pour les domaines les plus rigoureux de l'étude des systèmes naturels, comment ne pourrait-on ne pas rêver d'une théorie complète dans un domaine infiniment plus complexe - celui des sciences humaines ?

La structure gödelienne de l'ensemble des niveaux de réalité, associés à la logique du tiers inclus, implique la possibilité de bâtir une théorie complète pour décrire le passage d'un niveau à l'autre et, à fortiori, pour décrire l'ensemble des niveaux de réalité .

 

081